毕达哥拉斯定理叙述的是一个事实,说明直角三角形各边长之间的等式关系:斜边长度的平方等于另两边长度的平方和。
如果要学习这个定理，该从哪些基本的知识出发，经历怎样的过程，最后学到这个定理呢？
当然，如果跳过过程，直接将结果拿来，也是有实际的价值,例如,如果人们已知三角形两直角边的长度,就能利用该法则计算出斜边的长度。
但过程必须被关注，甚至过程的目的并不是为了一个正确的结果。
那么这个过程是由什么构成？怎样才能以最简单的形式来分解大部分的学习过程？
汉语言里有三个词：现象，抽象，想象。这三个词结合起来，就能描述绝大部分的学习过程。
早在毕达哥拉斯之前,古代的工匠就通过经验发现,直角三角形的三条边的长度是由特定的数组构成的,例如3、4和5或者6、8和10这些三元数组。它们虽然简单,却有着重要的实际意义，即人们注意到了这样一种现象。
现象世界的所有直角三角形千差万别，各不相同。但它们有一个共同点，就是所有直角三角形都包含一个直角。意识到这一点，人们就进入了抽象世界，在那里,对于包含一个直角这件事来说，各个直角三角形不再是特殊的。
在现象世界里，人们对直角三角形的边长可以进行测量记录。但在抽象世界里，人们的工作只有一个，就是想象，一切都发生在人们的意识中。
毕达哥拉斯定理的想象部分也就是证明思想，起源于古希腊时代,经历了几百年才形成的。这一阶段的顶峰是欧几里得的《几何原本》，《几何原本》完全以明确、正式的证明形式把毕达哥拉斯定理呈现出来。第1册的第47个命题就是毕达哥拉斯定理的证明:直角三角形中,直角对边边长的平方等于另两边的平方和。
《几何原本》开始于一系列定义，例如：
定义1 点：点不可以再分割成部分。
定义2 线：线是无宽度的长度。
定义4 直线：直线是点沿着一定方向及其相反方向无限平铺。
定义5 面：面只有长度和宽度。
紧接定义之后是几个公设。公设是自明的，意即无需证明的显在事实，尤其表现在平面几何中。公设内容多为作图。
公设l 过现点可以作一条直线。
公设2 直线可以向两端无限延伸。
公设3 以定点为圆心及定长的线段为半径可以作圆。
公设4 凡直角都相等。
公设5 同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。
还有量与公理：公理也是自明的，涉及各种不同类型的大小。
公理1 等于同量的量彼此相等。
公理2 等量加等量，其和仍相等。
公理3 等量减等量，其差仍相等。
公理4 彼此能够重合的物体是全等的。
公理5 整体大于部分。
定义，公设，公理就是对现象世界的抽象。依靠这些定义，公设，公理，人们进入抽象世界。在这些基本的抽象关系上，人们进行想象，最终来到毕达哥拉斯定理前。
证明步骤如下:沿着三角形的三条边分别画出三个正方形。从直角的顶点出发,垂直于斜边画一条线,并延长到斜边所对应正方形的对边。这样,将大正方形分割成两个矩形,每个矩形的面积就分别等于两个小正方形的面积:两个小正方形的面积之和就等于斜边上的正方形的面积。
毕达哥拉斯定理为《几何原本》第1册的第47个命题，证明的第一步是沿着三角形的三条边分别画出三个正方形。作出这一步需要用到前面已经证明过的命题46。
详解起来就是：
命题47
设：ABC是直角三角形，其中角BAC是直角。
那么我说：BC为边的正方形等于以BA和AC为边的正方形之和。
建BC为边的正方形BDEC，且建BA和AC为边的正方形GB和HC。过A作AL平行于BD，也平行于CE，连接AD和FC（命题46、命题31）。
证明前面已经证明过的命题46的第一步又需要用到在命题46之前已经证明过的命题11、命题3、命题31。
而证明命题46之前已经证明过的命题11、命题3、命题31又需要用到在命题11、命题3、命题31之前已经证明过的命题X等一些列命题。。。。。。
整个想象过程就像建设一座塔，一层接着一层。。。。。。一层的建设一定要将这层以下的塔层建设完全，否则就会歪塔或者倒塌。。。。。。
从看到直角三角形状的现实事物，到毕达哥拉斯定理，这个过程正是人们观察现象，进行抽象，进而想象的过程。通过这个过程，人们似乎离开了原地,去到了另外一个地方。那里是一个真理王国,不管人们身在何方,只要付出努力就能到达。在那里,直角三角形不再是特殊的,边长之间的关系都是相同的,这种体验是愉悦的,甚至是令人兴奋和难忘的，令人不可思议的。
